已知复数z=1−i的共轭复数为
，则
A．
B．0 C．−2 D．2
来 自： 绵阳市高中2023级第二次诊断性考试
知识点：得分率：93.11%
学科网版知识点 -> 复数 -> 复数代数形式的四则运算 -> 共轭复数;
学科网版知识点 -> 复数 -> 复数代数形式的四则运算 -> 复数的乘除和乘方 -> 复数代数形式的乘法运算;
解析
D
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‹绵阳市高中2023级第二次诊断性考试 · 数学 · 题目详解
2026-01-21 · 共 19 组题目 · 离线快照
单选题
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单选题
若直线l1：x+y−1=0与直线l2：kx−y+2=0(k∈R)垂直，则k=
A．−1 B．0 C．1 D．2
来 自： 绵阳市高中2023级第二次诊断性考试
知识点：得分率：91.93%
学科网版知识点 -> 平面解析几何 -> 直线与方程 -> 直线的倾斜角与斜率 -> 两条直线的平行与垂直 -> 已知直线平行求参数;
解析
C
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单选题
已知集合A={x|−1<x<1}，B={x|lnx<1}，则
A．(−1，e) B．(−1，0)
C．(0，1) D．(0，e)
来 自： 绵阳市高中2023级第二次诊断性考试
知识点：得分率：84.92%
学科网版知识点 -> 集合与常用逻辑用语 -> 集合 -> 集合的基本运算 -> 并集;
学科网版知识点 -> 函数与导数 -> 指对幂函数 -> 对数函数 -> 对数函数的定义域;
解析
A
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单选题
已知直线m，平面α，β，若m//α，则“α⊥β”是“m⊥β”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
来 自： 绵阳市高中2023级第二次诊断性考试
知识点：得分率：83.17%
学科网版知识点 -> 集合与常用逻辑用语 -> 常用逻辑用语 -> 充分条件与必要条件;
学科网版知识点 -> 空间向量与立体几何 -> 点、直线、平面之间的位置关系 -> 直线、平面垂直的判定与性质 | 直线、平面平行的判定与性质;
解析
B
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单选题
已知
，则sinα=
A．
B．
C．
D．
来 自： 绵阳市高中2023级第二次诊断性考试
知识点：得分率：85.77%
学科网版知识点 -> 三角函数与解三角形 -> 三角函数 -> 同角三角函数的基本关系;
学科网版知识点 -> 三角函数与解三角形 -> 三角恒等变换 -> 二倍角公式;
解析
C
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单选题
已知▱ABCD的两条对角线相交于点O，M为CD的中点，若
a，
b，则
A．a+b B．−
a+b
C．a+b D．−a−b
来 自： 绵阳市高中2023级第二次诊断性考试
知识点：得分率：90.19%
学科网版知识点 -> 平面向量 -> 平面向量的基本定理及坐标表示 -> 平面向量基本定理;
学科网版知识点 -> 平面向量 -> 平面向量的线性运算;
解析
D
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单选题
体积为
的圆柱的底面直径和高都等于球O的直径，则球O的表面积为
A．
B．
C．
D．
来 自： 绵阳市高中2023级第二次诊断性考试
知识点：得分率：80.44%
学科网版知识点 -> 空间向量与立体几何 -> 空间几何体 -> 空间几何体的表面积与体积 -> 柱、锥、台的体积 | 球的体积和表面积;
解析
B
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单选题
已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在x轴上，且经过点A(2，
)，直线AF交C于另一点B，直线AO交C的准线于点D，则|BD|=
A．
B．
C．2 D．
来 自： 绵阳市高中2023级第二次诊断性考试
知识点：得分率：69.96%
学科网版知识点 -> 平面解析几何 -> 圆锥曲线 -> 直线与圆锥曲线的位置关系 -> 直线与抛物线的位置关系 -> 求直线与抛物线的交点坐标;
学科网版知识点 -> 平面解析几何 -> 圆锥曲线 -> 抛物线 -> 抛物线标准方程的形式;
解析
A
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多选题
已知函数
，则
A．
B．
的最小值为−2
C．的最小正周期为
D．
来 自： 绵阳市高中2023级第二次诊断性考试
知识点：得分率：77.35%
学科网版知识点 -> 三角函数与解三角形 -> 三角函数 -> 三角函数的图象与性质;
解析
BD
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多选题
已知函数
，则
A．
是奇函数 B．在(−2，−1)上有零点
C．在(−1，1)上单调递增 D．有4个极值点
来 自： 绵阳市高中2023级第二次诊断性考试
知识点：得分率：53.07%
学科网版知识点 -> 函数与导数 -> 导数及其应用 -> 导数在研究函数中的作用 -> 利用导数研究函数的单调性 | 利用导数研究函数的极值;
学科网版知识点 -> 函数与导数 -> 函数及其性质 -> 函数的基本性质 -> 函数的奇偶性;
解析
ABD
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多选题
已知双曲线C的实轴长为2，左，右焦点分别为F1(−2，0)，F2(2，0)，P，Q分别是半径都为2的⊙F1，⊙F2上的动点，且满足线段PF2的垂直平分线m与直线PF1相交于点M，线段QF1的垂直平分线n与直线QF2相交于点N，O为坐标原点，则
A．C的离心率为2
B．M，N的轨迹都是双曲线C
C．m与C有2个公共点
D．若n与C的两条渐近线分别交于A，B两点，则△AOB的面积为
来 自： 绵阳市高中2023级第二次诊断性考试
知识点：得分率：39.00%
学科网版知识点 -> 三角函数与解三角形 -> 解三角形 -> 正弦定理和余弦定理 -> 三角形面积公式;
学科网版知识点 -> 平面解析几何 -> 圆锥曲线 -> 双曲线 -> 双曲线的定义 | 双曲线的渐近线;
学科网版知识点 -> 平面解析几何 -> 圆与方程 -> （圆与方程）直线与圆的位置关系 -> （直线与圆的位置关系）直线与圆的位置关系;
解析
ABD
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主观题
已知|a|=2，|b|=1，若b⊥(a−b)，则a与b的夹角为__________.
来 自： 绵阳市高中2023级第二次诊断性考试
知识点：得分率：86.33%
学科网版知识点 -> 平面向量 -> 平面向量的数量积 -> 平面向量数量积的运算 -> 向量夹角的计算 | 垂直关系的向量表示;
解析
60◦
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主观题
已知等差数列
的首项
，公差
，前n项和
，则n=__________.
来 自： 绵阳市高中2023级第二次诊断性考试
知识点：得分率：92.36%
学科网版知识点 -> 数列 -> 等差数列 -> 等差数列的前n项和;
解析
6
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主观题
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=120◦，AC=BC=AA1=2，M为AA1的中点，若平面BCM与平面B1C1M的交线为l，则点B到直线l的距离为__________.
来 自： 绵阳市高中2023级第二次诊断性考试
知识点：得分率：27.25%
学科网版知识点 -> 空间向量与立体几何 -> 点、直线、平面之间的位置关系 -> 直线、平面平行的判定与性质 -> 线面平行的性质;
学科网版知识点 -> 空间向量与立体几何 -> 空间几何体 -> 空间几何体的结构 -> 棱柱;
学科网版知识点 -> 空间向量与立体几何 -> 空间向量与立体几何* -> 空间向量的应用 -> 空间距离的向量求法 -> 点到直线距离的向量求法;
解析
2
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主观题
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
（1）求
；
（2）若
，且△ABC的周长为8，求a．
来 自： 绵阳市高中2023级第二次诊断性考试
知识点：得分率：85.31%
学科网版知识点 -> 三角函数与解三角形 -> 解三角形 -> 正弦定理和余弦定理;
解析
解：（1）由正弦定理得：
， 2分
又∵
， 3分
∴
， 4分
∴
， 5分
∴
， 6分
又sinB
，
∴
； 7分
（2）由余弦定理：
， 9分
∴
， 11分
∵△ABC的周长为8，
∴
， 12分
∴c=2，则
． 13分
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主观题
已知函数
．
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）求的单调区间及最小值．
来 自： 绵阳市高中2023级第二次诊断性考试
知识点：得分率：49.51%
学科网版知识点 -> 函数与导数 -> 导数及其应用 -> 导数在研究函数中的作用 -> 利用导数研究函数的单调性 | 利用导数研究函数的最值;
学科网版知识点 -> 函数与导数 -> 导数及其应用 -> 导数的概念和几何意义 -> 导数的几何意义;
解析
解：（1）∵
， 2分
∴
，又
， 4分
∴所求切线方程为：
， 6分
（2）∵
， 8分
所以由
，得
的单调递增区间为：(2，3)，(6，+∞)； 9分
由
得的单调递减区间为：(3，6)， 10分
∵
，
， 12分
∵
，则
， 14分
所以
的最小值为
． 15分
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主观题
已知数列
，
满足
，
，
，
，
．
（1）证明：数列
是等比数列；
（2）求
的通项公式，并求的前n项和
．
来 自： 绵阳市高中2023级第二次诊断性考试
知识点：得分率：73.98%
学科网版知识点 -> 数列 -> 等比数列;
学科网版知识点 -> 数列 -> 数列求和 -> 分组（并项）法求和;
解析
解：（1）证明：∵
，
，
∴两式相减得
， 2分
即
， 4分
又∵
，
∴数列
是首项为2，公比为2的等比数列； 6分
（2）由（1）易得，
， 7分
，，
∴两式相加得
， 8分
即
，
， 9分
当
时，
满足上式，
∴数列
是首项为4，公差为4的等差数列，易得
， 11分
∴
，解得
， 13分
∴
14分
． 15分
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主观题
已知椭圆C：
经过
，(2，1)两点．
（1）求C的标准方程；
（2）直线l：
交C于A，B两点．
（i）若C上存在异于A，B的一点P，满足
(O为坐标原点)，试探究△OAB的面积是否为定值？若是，请求出该值，若不是，请说明理由；
（ii）已知点Q(m，n)在C的内部，延长AQ，BQ分别交C于D，E两点，且DE//AB，若
，求m，n满足的关系式．
来 自： 绵阳市高中2023级第二次诊断性考试
知识点：得分率：30.42%
学科网版知识点 -> 平面解析几何 -> 圆锥曲线 -> 椭圆 -> 椭圆的标准方程;
学科网版知识点 -> 平面解析几何 -> 平面解析综合;
学科网版知识点 -> 平面解析几何 -> 圆锥曲线 -> 直线与圆锥曲线的位置关系 -> 直线与椭圆的位置关系;
学科网版知识点 -> 平面解析几何 -> 圆锥曲线 -> 直线与圆锥曲线的位置关系 -> 椭圆中的向量问题 -> 椭圆中向量共线比例问题;
解析
解：（1）将点代入椭圆方程可得：
，
， 1分
解得：
，
， 2分
∴椭圆方程为：
； 3分
（2）方法一：设
，
，
，
∴
，
，
由
，则
，即
， 4分
代入椭圆方程可得：
，
整理得：
， 5分
又，在椭圆上，则
，
，
代入上式可得：
，平方可得：
， 6分
∵直线OA的方程为：
，
∴点到直线OA的距离
， 7分
∴△OAB的面积：
， 8分
∴
， 9分
∴△OAB的面积为定值
； 10分
（2）方法二：设，，，
∴，，
由，则，即， 4分
代入椭圆方程可得：，
整理得：， 5分
又，在椭圆上，则，，
代入上式可得：
，
又，在直线
上，
故
，则
，
整理得到：
……（*） 6分
联立方程：
，整理得到：
，
由
，
由韦达定理：
代入（*）式，得：
， 7分
此时：
， 8分
O(0，0)到直线
的距离：
， 9分
所以△OAB的面积：
； 10分
（3）设
，
，
，
，
∵直线AB与直线DE平行，则直线AB与直线DE的斜率均为
，
由平行关系，可设
，即
，
， 11分
由，则
，
∴
， 12分
同理，由可得：
，
又，在椭圆上，故
，
，
相减可得：
， 13分
∴
，则
……③ 14分
同理：
，则
……④ 15分
③+④可得：
， 16分
∴
，又
，故m=2n． 17分
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主观题
图所示，已知三棱锥P-ABC，D在平面ABC上，A，B，C， D四点任意三点不共线，PC⊥ABC．点E为PA的中点，EF⊥PB，EG⊥PD，垂足分别为F，G，PC=2，PA=
，EF=EG=1．
（1）证明：PA⊥FG；
（2）若PC∥平面EBD，设二面角B-AP-D的平面角为θ，且θ为钝角，求cosθ的最大值；
来 自： 绵阳市高中2023级第二次诊断性考试
知识点：得分率：6.81%
学科网版知识点 -> 空间向量与立体几何 -> 点、直线、平面之间的位置关系 -> 直线、平面垂直的判定与性质 -> 二面角;
学科网版知识点 -> 空间向量与立体几何 -> 空间向量与立体几何综合;
学科网版知识点 -> 空间向量与立体几何 -> 空间几何体 -> 空间几何体的表面积与体积 -> 球的体积和表面积;
解析
解：（1）证明：由题意，可知
， 1分
如解图1，取PE中点H，连接HF，HG，
则HF⊥PE，GH⊥PE，结合HF，HG
平面HGF，
故PA⊥平面HGF， 2分
又∵FG平面HGF，故PA⊥FG；
（2）设AC与BD的交点为O，
∵
平面PAC，平面PAC
平面EBD = EO，
结合PC∥平面EBD，故PC∥EO， 4分
∵E为PA的中点，故O为AC的中点，
如解图2所示，建立空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，P(0，0，2)，
，
设
，
，AC中点O(1，0，0)，
则有
，∵
，
故
，
得
，同理可得
， 5分
不妨设
，
，其中
，
，
∵BD过O(1，0，0)，从而
，
由
，
，
得
，则
， 6分
设平面PAB与平面PAD的法向量分别为
，
，
从而有
，即
，可得
，
同理可得
， 7分
故
， 8分
且易知
，满足θ为钝角，
而
，当且仅当
，
时取等，
故
，
二面角B-AP-D的平面角的余弦值的最大值为
； 10分
（3）∵BD//FG，且PA⊥FG，
故PA⊥BD，结合PC⊥平面ABD，则可得PC⊥BD，
因此BD⊥平面PAC，故BD⊥AC，
由（2）知，，
故B，D关于平面PAC对称，
设
，则
，其中
且
，
设△ABD的外心为S，显然S应在x轴上，
设
，∵|SB|=|SA|，
故有
，整理得
， 12分
同时PA在平面PAC中的垂直平分线恰为CE，
因此球心T即为过S且垂直于平面ABD的直线与CE的交点，
故
， 13分
令
，则
且
，代入
及
表达式，
得
，
因此
，令
，
故
，且
， 14分
且给定该球的半径时，三棱锥P-BCD的体积有3个可能的值，
等价于
有3个不同的解，即
有3个不同的解，
①当
时，关于w的方程，
在区间
上有唯一解，
此时关于v的方程仅在区间(‒2，0)有一解，不满足题意； 15分
②当
时，关于w的方程恰有两解
，
，方程
在区间(‒2，0)有1解，
有唯一解
．故共有2组解，不满足题意； 16分
③当
时，关于w的方程在
，
分别有一解. 此时关于v的方程在区间(‒2，0)有一解，在
有2解，共3解，符合题意，
因此，即
，
综上所述，该球半径的取值范围是
； 17分
思路二：令，则且，
代入的表达式为：
，
则
，结合
，后同解法一的讨论．
方法二：（3）∵BD//FG，且PA⊥FG，故PA⊥BD，结合PC⊥平面ABD，则可得PC⊥BD，
因此BD⊥平面PAC，故BD⊥AC，由（2）知，，
故B，D关于平面PAC对称，设，则，其中且，
设球心
，则
，
∴
化简整理得：
，且
，故
，
下同方法一．
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